3.2 剪切流动

3.2.1 简单剪切

如果温度均匀、厚度为 h 的聚合物层（图 3.6）在对立面上受到切向力 F 的剪切，导致其边界相对运动 W = dx/dt，则所有截面上的剪切应力 T = F /xz 将保持恒定（通过力的平衡）， 如果粘度是一种材料特性，则在应力恒定时粘度也将保持恒定。那么根据公式 (3.5)，剪切速率也将是恒定的：

\(\dot{\gamma } = \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} y} = \frac{W}{h}\) -              (3.11)

备注

这与 τ 和 \(\dot{\gamma }\) 之间的关系无关，即它既适用于牛顿行为，也适用于假塑性行为。

图 3.6 简单剪切

3.2.2 圆形毛细管（牛顿模型）

流动被认为是充分发展的，即流动是纯轴向的，速度曲线与轴向位置无关。因此，可以认为法线截面上的压力是均匀的，并将沿流向下降。使用下标 y、r 和 R 表示相应半径处的值，半径 y 处的剪应力和剪切速率分别为 \(\tau _{y}\) 和 \(\dot{\gamma } _{y}\) = \(\frac{\mathrm{d} V_{y} }{\mathrm{d} y}\) 。

图 3.7 圆形毛细管

如果压力在长度 dL 上从 P + dP 降到 P，那么半径 y 和长度 dL 的圆柱体上的力等效（图 3.7）：

\(\left [ \left ( P + dp \right ) -P \right ] \pi y ^{2} = 2\tau _{y} \pi y dL\) -      (3.12)

因此

\(\tau _{y} = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} L} \bullet \frac{y}{2}\) -                           (3.13)

备注

• 切应力与压力梯度成正比；

• 切应力与半径成正比，因为 dP/dL 与半径无关；

• 切应力与流体性质无关；

• 壁面切应力 \(\tau _{R}\) = (R/2) . dP/dL。

由于压力随着 L 的增大而减小，因此 τ 的符号与 \(\dot{\gamma }\) 相反，根据定义：

\(\tau _{y} = - \eta \frac{\mathrm{d} V_{y} }{\mathrm{d} y}\) -                           (3.14)

因此

\(\begin{eqnarray}\dot{\gamma _{y} } & = & \frac{\mathrm{d} V_{y} }{\mathrm{d} y} \\ & = & -\frac{\tau _{y} }{\eta }\\ & = & -\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} L}\bullet \frac{y}{2\eta } \end{eqnarray}\) -                    (3.15)

因此剪切速率也与半径成正比。那么：

\(\begin{eqnarray}\mathrm{d}V_{y} & = & - \frac{\tau _{y} }{\eta } \mathrm{d}y \\ & = & \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \bullet \frac{y\mathrm{d}y }{2\eta } \end{eqnarray}\) -                     (3.16)

积分：

\(\int_{0}^{r} = - \frac{1}{2\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \int_{0}^{r}y\mathrm{d}y\) -               (3.17)

给予：

\(V_{r} - V_{0} = - \frac{r^{2} }{4\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L}\) -                 (3.18)

假设流体紧贴壁面（无滑动），则 \(V _{R}\) = 0 那么：

\(V_{0} =\frac{R^{2} }{4\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L}\) -                         (3.19)

并：

\(\begin{eqnarray}V_{r} & = & \frac{1 }{4\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \left ( R^{2} - r^{2} \right ) \\ & = & V_{0} \left ( 1-\frac{r^{2} }{R^{2} } \right ) \end{eqnarray}\) -             (3.20)

得出抛物线速度曲线。

在半径为 r 的 dr 宽环形空间中的体积流量为：

\(\mathrm{d}Q_{r} = V_{r} \bullet 2\pi r\mathrm{d}r\) -                      (3.21)

和总容积流量：

\(\begin{eqnarray}Q & = & \frac{2\pi }{4\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \int_{0}^{R} \left (R^{2} - r^{2} \right ) r\mathrm{d}r \\ & = & \frac{\pi R^{4} }{8\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \end{eqnarray}\) -     (3.22)

调整为：

\(\mathrm{d}P = \frac{8\eta Q\mathrm{d}L }{\pi R^{4} }\) -                              (3.23)

将公式 (3.15) 用作毛细管壁的剪切率，并代入公式 (3.22) 中的 dP/dL：

\(\begin{eqnarray}\dot{\gamma } & = & \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \bullet \frac{R}{2\eta } \\ & = & \frac{4Q}{\pi R^{3} } \end{eqnarray}\) -                            (3.24)

得出了与流速和模头尺寸相关的壁面剪切速率。

3.2.3 无边界平缝（牛顿模型）

根据与毛细管相同的假设，无限狭缝宽 T 深 H，其中 T>>H，因此端面的阻力可以忽略不计，因此流动是一维的，速度只在 H 方向变化。下标为 y、h 和 X，其中 X = H /2，表示从中心线测量的相应尺寸（图 3.8）。

图 3.8 平缝流动

通过对从中心开始以 y 为轴的 T 宽区域进行力平衡：

\(\mathrm{d}P y T = \tau _{y} \mathrm{d}L\) -                               (3.25)

那么：

\(\begin{eqnarray}\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \bullet y & = & \tau _{y} \\ & = & - \eta \dot{\gamma } _{y} \\ & = & - \eta \frac{\mathrm{d} V_{y} }{\mathrm{d} y} \end{eqnarray}\) -                         (3.26)

同样，剪应力与中心距离和压力梯度成正比，与流体性质无关。有：

\(\begin{eqnarray}\mathrm{d}V_{y} & = & -\frac{\tau _{y} }{\eta } \mathrm{d}y \\ & = & -\frac{1}{\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} y\mathrm{d}y \end{eqnarray}\) -                       (3.27)

综合:

\(\int_{0}^{h}\mathbf{d}V=-\frac{1}{\eta}\cdot\frac{\mathbf{d}P}{\mathbf{d}L}\int_{0}^{h}y\,\mathbf{d}y\) -                      (3.28)

给:

\(V_{h}-V_{0}=-\frac{h^{2}}{2\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\) -                      (3.29)

但是 \(V_{X}=0\) . 那么:

\(\begin{array}{r}{V_{0}=\cfrac{X^{2}}{2\eta}\cdot\cfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\\ {=\cfrac{H^{2}}{8\eta}\cdot\cfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\end{array}\) -                      (3.30)

及

\(\begin{array}{l}{\displaystyle V_{h}=\frac{1}{2\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\left(X^{2}-h^{2}\right)}\\ {\displaystyle\qquad=\frac{1}{8\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\left(H^{2}-4h^{2}\right)}\end{array}\) -                      (3.31)

得出抛物线速度曲线（在 \(T\) 方向上均匀）。

在距离中心 \(\pmb{h}\) 处，厚度为 \(\mathbf{d}h\) 的薄片中的体积流量为：

和总体积流量：

\(\mathrm{d}Q_{h}=V_{h}T\,\mathrm{d}h\) -                      (3.32)

\(\begin{array}{l}{{Q=2\displaystyle\int_{0}^{X}\frac{T}{2\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\left(X^{2}-h^{2}\right)\mathrm{d}h}}\\ {{\ }}\\ {{\displaystyle{=\frac{T}{\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\left[X^{2}h-\frac{h^{3}}{3}\right]_{0}^{X}}}}\\ {{\ }}\\ {{\displaystyle{=\frac{2T}{3\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\,X^{3}}}}\\ {{\ }}\\ {{\displaystyle{=\frac{T H^{3}}{12\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}}}\end{array}\) -                      (3.33)

其中 \(H=2X\) 。重新排列：

壁面剪切率为

\(\mathbf{d}P={\frac{12\eta Q\,\mathrm{d}L}{T H^{3}}}\) -                      (3.34)

\(\begin{array}{l}{\dot{\gamma}_{X}=-\frac{X}{\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\\ {\quad=-\frac{H}{2\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\\ {\quad=\frac{6Q}{T H^{2}}}\end{array}\) -                      (3.35)

表 3.1 流量方程汇总表

表 3.1 列出了这两种压力流的结果，以及幂律流体的相应结果。从公式 (3.23) 中可以看出，在半径恒定的毛细管中，如果粘度不依赖于压力，则压力梯度 \(/\mathbf{d}P/\mathbf{d}L\)恒定且等于 \(P/L\)。公式 (3.22) 可以重写：

\(Q=\frac{\pi R^{4}}{8\eta}\cdot\frac{P}{L}\) -                      (3.36)

或者，把 \(K=\pi R^{4}/8L\) 放在恒定维数的模中：

\(Q=\frac{K P}{\eta}\) -                      (3.37)

流量方程 (3.22) 和 (3.33) 以及相应的幂律方程（表 3.1）可用于确定不同尺寸对压力流量的影响。对于两个串联的毛细管，如阶梯模中的毛细管，每个部分的容积流量显然是相同的。那么对于牛顿流体，根据公式 (3.22)

\(\frac{\pi R_{2}^{4}}{8\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P_{2}}{\mathrm{d}L}=\frac{\pi R_{1}^{4}}{8\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P_{1}}{\mathrm{d}L}\)

或者

\({\cfrac{{\mathrm{d}}P_{2}}{{\mathrm{d}}L}}=\left({\cfrac{R_{1}}{R_{2}}}\right)^{4}.{\cfrac{{\mathrm{d}}P_{1}}{{\mathrm{d}}L}}\) -                      (3.38)

如果 例如 \(R_{2}=0.95R_{1}\)

\({\cfrac{{\mathrm{d}}P_{2}}{{\mathrm{d}}L}}=1.228~{\frac{{\mathrm{d}}P_{1}}{{\mathrm{d}}L}}\) -                      (3.39)

即半径减少 \(5\%\)，压力梯度增加 \(22.8\%\)。 对于假塑性幂律流体，表 3.1 给出了壁面剪切率：

\(\dot{\gamma}_{\mathrm{w}2}=\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}\:\dot{\gamma}_{\mathrm{w}1}\) -                      (3.40)

与

\(\eta_{\mathrm{w}2}=\bigg(\frac{R_{1}}{R_{2}}\bigg)^{3n-3}\cdot\eta_{\mathrm{w}1}\) -                      (3.41)

那么在流量 \(Q\) 相等的情况下:

\(\begin{array}{l}{\displaystyle\frac{\mathrm{d}P_{2}}{\mathrm{d}L}\!=\!\frac{\mathrm{d}P_{1}}{\mathrm{d}L}\cdot\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{4}\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3n-3}}\\ {\displaystyle=\frac{\mathrm{d}P_{1}}{\mathrm{d}L}\cdot\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3n+1}}\end{array}\) -                      (3.42)

然后在 \(R_{2}=0.95R_{1}\) 和 \(n=0.3\)

\({\frac{{\mathrm{d}}P_{2}}{{\mathrm{d}}L}}=1.102\,{\frac{{\mathrm{d}}P_{1}}{{\mathrm{d}}L}}\) -                      (3.43)

也就是说，对于高度假塑性的流体，半径减少\(5\%\) 会导致压力梯度增加\(10.2\%\)。

对于宽度为 \(_T\) 的均匀狭缝，如果深度 \(\pmb{H}\) 减少 5 美元/%$，则相应的值分别为 \(16.6\%\) 和 \(8.5\%\)（对于 \(n=1\) 和 \(n=0.3\)）。

对于两个平行的等长毛细管，如多线模中的毛细管，每个毛细管上的压降和压力梯度是相同的。那么对于牛顿流体，根据公式 (3.23):

\(\frac{8\eta Q_{2}}{\pi R_{2}^{4}}\,{=}\,\frac{8\eta Q_{1}}{\pi R_{1}^{4}}\)

或者

\(Q_{2}=Q_{1}\left({\frac{R_{2}}{R_{1}}}\right)^{4}\) -                      (3.44)

如 \(R_{2}=0.95R_{1}\) ,

\(Q_{2}=0.814Q_{1}\) -                      (3.45)

即半径减小 5%，流速减小 18.6%。平均流速 \(Q/\pi R^{2}\) 降低了 9.75%。例如，这对于多股分支模头进行普通分流非常重要。 对于伪塑性幂律(pseudoplastic power-law)流体，表3.1给出了：

\(\begin{array}{r l r}{{\dot{\gamma}_{\mathrm{w2}}=-\frac{1}{\eta_{\mathrm{w2}}}\cdot\frac{R_{2}}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}} \\&{}&{=\dot{\gamma}_{\mathrm{w1}}\,\frac{\eta_{\mathrm{w1}}}{\eta_{\mathrm{w2}}}\cdot\frac{R_{2}}{R_{1}}}\end{array}\) -                      (3.46)

但 根据公式 (3.7):

\(\eta_{\mathrm{w}2}=\eta_{\mathrm{w}1}\left(\frac{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}2}}{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}1}}\right)^{n-1}\) -                      (3.47)

因此

\(\frac{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}2}}{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}1}}=\frac{R_{2}}{R_{1}}\,\left(\frac{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}2}}{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}1}}\right)^{1-n}\)

或

\(\frac{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}2}}{\dot{\gamma}_{\mathrm{wl}}}=\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)^{1/n}\) -                      (3.48)

及

\(\eta_{\mathrm{w}2}=\eta_{\mathrm{w}1}\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)^{(n-1)/n}\) -                      (3.49)

那么

\(\begin{array}{l}{{\displaystyle Q_{2}=Q_{1}\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)^{4}\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)^{(1-n)/n}}}\\ {{\mathrm{}}}\\ {{\displaystyle=Q_{1}\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)^{(3+1/n)}}}\end{array}\) -                      (3.50)

如果 \(R_{2}=0.95R_{1}\) 和 \(n=0.3\) ，

\(Q_{2}=0.723Q_{1}\) -                      (3.51)

也就是说，半径减小\(5\%\)，流速减小\(27.7\%\)，平均速度减小\(19.9\%\)–比牛顿情况下的数值更大。对于两个平行的等宽缝隙 \(T\)，其中一个的深度 \(H_{2}\) 为 \(0.95H_{1}\)，则相应的数值为：在 \(n=1\) 和 \(n=0.3\) 时，流速分别降低 \(14.3%\) 和 \(23.9%\)。对于这两个 \(\pmb{n}\) 值，平均流速的降低比例与圆形毛细管相同。

这些计算对实际挤压模具公差的影响将在第 5 章中讨论。除了毛细管内的压力损失外，还经常会有入口损失，特别是方形入口模头，在低剪切速率下，入口损失可能相当于增加 \(4L/R\) 至 \(6L/R\) 的模头长度，在较高剪切速率下，入口损失会增加；这将在第 3.5 节中讨论。

剪切流的一个难点是剪切同时在多个方向上进行。这种情况出现在挤出机螺杆的通道中，聚合物熔体沿通道同时受到剪切，其净流速取决于背压，而穿过通道时的净流速为零。其结果在大小和方向上都会发生变化，这就产生了冗长的牛顿流体方程（见第 8.4 节）。对于非牛顿流体，计算结果过于复杂，无法用于工业运行分析。另一种情况是在螺杆的输送端安装了一个混合装置，例如涂抹头或 Dulmage 头。该装置的旋转会造成横向于轴线的简单剪切流（线性速度分布），而有用的输出则由轴向压力流表示，就像在狭窄的缝隙中一样（等式（3.33）），从而产生弯曲的速度分布，例如抛物线速度分布；其结果在大小和方向上也是不同的。有学者指出，某点的有效粘度（假定为各向同性）受该点的最大剪切速率控制。Cogswell （Cogswell 和 Lamb，1970 年）对低密度聚乙烯进行的实验表明，当旋转头的速度增加时，在旋转头之后的模头中的粘度会降低；这归因于可能是这种聚合物特有的暂时性链解缠。

3.2.4 剪切应变能

(Strain energy in shear)

参考图3.6，考虑平行于剪切应力方向并以速度w移动的层厚。然后，作用在该层与速度为 \(w+\mathbf{d}w\) 的相邻层之间的界面上的剪切力为：

\[F=\tau x z \tag{3.52}\]

这在时间 \(t\) 上起作用的距离是：

\[[(w+\mathbf{d}w)-w]t\tag{3.53}\]

在时间 \(t\) 内完成的工作：

\[F t[(w+\mathbf{d}w)-w]=\tau x z\,t\,\,\mathrm{d}w\tag{3.54}\]

但薄片的体积为 \(x z\,{\mathsf{d}}y\) ，因此单位体积在 \(t\) 时间内所做的功为：

\[{\frac{\tau x z\,t\,\,{\mathrm{d}}w}{x z\,{\mathrm{d}}y}}=\tau\,{\frac{{\mathrm{d}}w}{{\mathrm{d}}y}}\;t\tag{3.55}\]

以及单位体积的应变能：

\[\tau\,\frac{\mathsf{d}w}{\mathsf{d}y}=\tau\dot{\gamma}\,\mathsf{N}\,\mathsf{s}^{-1}\,\mathsf{m}^{-2}\tag{3.56}\]

将粘度代入方程 (3.5) 即可得出：

\[\begin{split}{\begin{array}{r l}&{{\mathrm{Strain~energy~per~unit~volume(单位体积的应变能)}}={\frac{\tau^{2}}{\eta}}}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\eta\;{\dot{\gamma}}^{2}\,{\mathrm{N\,s}}^{-1}\,{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{~or~}}{\mathrm{W\,m}}^{-3}}\end{array}}\end{split}\]

在简单剪切的情况下，代入公式 (3.11) 即可得出：

\[{\mathrm{Strain~energy~per~unit~volume}}={\frac{\eta W^{2}}{h^{2}}}\,\mathbf{W}\,\mathbf{m}^{-3}\tag{3.58}\]

or

\[{\mathrm{Strain~energy~per~unit~volume}}={\frac{\eta W^{2}}{h^{}}}\,\mathbf{W}\,\mathbf{m}^{-2}(\mathrm{simple~shear})\tag{3.59}\]

对于幂律流体，将方程（3.6）代入方程（3.56）得到：

\[\begin{split}\begin{array}{r l}&{\mathrm{~Strain~energy~per~unit~volume}=K\dot{\gamma}^{n+1}}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=K\left(\cfrac{W}{h}\right)^{n+1}(\mathrm{simple~shear})}\end{array}\end{split}\]

在圆形毛细管中，根据方程式（3.15）：

\[\dot{\gamma}_{r}=-\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\,\cdot\,\frac{r}{2\eta}\tag{3.61}\]

然后，对于牛顿流体，结合方程（3.57）和（3.61），环空 \(r\) 到 \(r+\mathbf{d}r\) 的应变能为：

\[\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}{\frac{r^{2}}{4\eta}}\cdot2\pi r L\,\mathrm{d}r={\frac{\pi L}{2\eta}}\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\cdot r^{3}\,\mathrm{d}r\tag{3.62}\]

毛细管中的总应变能为：

\[{\frac{\pi L}{2\eta}}\,\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\int_{0}^{R}r^{3}\,\mathrm{d}r={\frac{\pi L}{8\eta}}\,\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\cdot R^{4}\tag{3.63}\]

毛细管中局部应变能的分布由方程（3.62）给出，如图3.9所示。

根据流量方程（3.22）进行替换：

\[\begin{split}\begin{array}{r l}{{\mathrm{Total~strain~energy}=\frac{8\eta L Q^{2}}{\pi R^{4}}}}\\ &{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=Q\,\mathrm{d}P\mathrm{~(in~circular~capillary)}}\end{array}\end{split}\]

其中 \(\mathbf{d}P\) 是长度 \(L\) 上的压降。

同样，在无限狭缝中，根据方程式（3.26）：

\[\dot{\gamma}_{h}=-\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\cdot\frac{h}{\eta}\tag{3.64}\]

层流h至h+dh的应变能为：

\[\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}{\frac{h^{2}}{\eta}}\cdot T L\;\mathrm{d}h={\frac{T L}{\eta}}\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\cdot h^{2}\,\mathrm{d}h\tag{3.65}\]

总应变能为：

\({\begin{array}{r}{{\frac{2T L}{\eta}}\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\!\int_{0}^{X}h^{2}\,\mathrm{d}h={\frac{2T L}{3\eta}}\,\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\!X^{3}}\\ {={\cfrac{T L}{12\eta}}\,\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\!H^{3}}\end{array}}\) -            (3.66)

如图3.8所示，\(X=H/2\)。根据流量方程（3.33）进行替换：

\(\begin{array}{r l}&{\mathrm{Total~strain~energy}=\frac{12\eta Q^{2}L}{T H^{3}}}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=Q\,\mathrm{d}P\,\mathrm{~(in~infinite~slit)}}\end{array}\) -            (3.67)

其中\(\mathbf{d}P\)是长度\(\pmb{L}\)的压降。

由方程（3.65）给出的宽狭缝中局部应变能的分布也绘制在图3.9中。下面的例子说明了应变能量和粘性加热的数量级。在直径为\(100\,\mathrm{mm}\)的挤出机螺杆中，通道宽度为\(100\,\mathrm{mm}\)，转速为\(1\,\mathbf{rps},\)速度约为\(0.3\,\mathbf{m}\,\mathbf{s}^{-1}\) 。如果通道深度为10mm，剪切速率W/h约为\(0.3/0.01=30\,\mathrm{s}^{-1}\) 。

然后从 第6章，阻力流速由下式给出：

\(\begin{array}{l}{{Q_{\mathbf{D}}=\cfrac{W b h}{2}}}\\ {{\qquad=\cfrac{\pi\times0.1\times0.1\times0.01}{2}}}\\ {{\qquad=1.57\times10^{-4}\,\mathrm{m^{3}\,s^{-1}}}}\end{array}\) -            (6.9)

假设粘度为\(10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}\,\mathrm{m}^{-2}\) 。然后仅考虑下游流速，在阻力流中为简单剪切：

\[\begin{split}\begin{array}{r l}{\mathrm{Strain\ energy}=\eta\stackrel{.}{\gamma}^{2}}&{}\\ {=10^{3}\times30^{2}}\\ {}&{=9\times10^{5}\,\mathbf{W\,m}^{-3}}\end{array}\end{split}\]

及

\[\begin{split}\begin{array}{c}{{\mathrm{Volume~of~one~turn}\simeq\pi D b h}}\\ {{=\pi0.1\times0.1\times0.01}}\\ {{\simeq3\times10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}}\end{array}\end{split}\]

然后

\[\begin{split}\begin{array}{r}{\mathrm{Strain\ energy\ per\ turn}=9\times10^{5}\times3\times10^{-4}}\\ {=2.7\times10^{2}\,\mathrm{W}\qquad\qquad\qquad}\end{array}\end{split}\]

根据表4.1，密度和比热为 \(750\,\mathbf{kg}\,\mathbf{m}^{-3}\) and \(2500\,\bar{{\bf J}}\,\bar{{\bf k}}{\bf g}^{-1}\,{\bf K}^{-1}\) , 加热速率为：

\[\begin{split}\begin{array}{l}{\displaystyle\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\,{=}\,\frac{9\times10^{5}}{750\times2500}}\\ {\displaystyle\simeq0.5^{\circ}\mathrm{C\,s}^{-1}}\end{array}\end{split}\]

在毛细管中，假设一个直径为\(5\,\mathrm{mm}\)、长为\(10\,\mathrm{mm}\)的模具，并测量流速。\(Q^{-}\,{=}\,0.1\times\,\mathrm{i}0^{-4}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}\)，牛顿粘度为\(10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}\,\mathrm{m}^{-2}\)

\[\begin{split}\begin{array}{l}{\displaystyle\mathrm{d}P=\frac{8\eta Q\mathrm{d}L}{\pi R^{4}}}\\ {\displaystyle\qquad=\frac{8\times10^{3}\times0.1\times10^{-4}\times0.01}{\pi(2.5)^{4}\times10^{-12}}}\\ {\displaystyle\qquad=6.5\times10^{6}\,\mathrm{N\,m^{-2}}}\end{array}\end{split}\]

边界剪切速率为：

\[\begin{split}\begin{array}{l}{{\dot{\gamma}_{R}=\displaystyle\frac{4Q}{\pi R^{3}}~~}}\\ {{\qquad=\displaystyle\frac{4\times0.1\times10^{-4}}{\pi\times2.5^{3}\times10^{-9}}}}\\ {{\qquad=815\,\mathrm{s}^{-1}}}\end{array}\end{split}\]

模头的容积

\[=\pi\times2.5^{2}\times10^{-6}\times0.01\]

通过模头时消耗的能量为

\[\begin{split}\begin{array}{c}{{Q\cdot{\bf d}P=0.1\times10^{-4}\times6.5\times10^{6}}}\\ {{=65\,{\bf W}}}\end{array}\end{split}\]

然后

\[\begin{split}\begin{array}{r l}{{\mathrm{Strain~energy}=\frac{65}{19.6\times10^{-8}}}} \\ {=3.32\times10^{8}\,\mathrm{W\,m}^{-3}}\end{array}\end{split}\]

请注意，这是\(\eta\dot{\gamma}_{R}^{2}\) 给出的一半，也就是说，如果壁上的应变能在整个毛细管上持续存在，见图3.9。通过的时间是：

\[{\frac{19.6\times10^{-8}}{0.1\times10^{-4}}}=19.6\,\mathrm{ms}\]

及加热速率为:

\[\begin{split}\begin{array}{c}{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\!=\!\frac{3.32\times10^{8}}{750\times2500}}}\\ {\displaystyle{=177^{\circ}\mathrm{C\,s}^{-1}}}\end{array}\end{split}\]

因此，通过模头的温升为：

\[\begin{split}\begin{array}{l}{{\bf d}T=177\times19.6\times10^{-3}}\\ {~~~~~~=3.97^{\circ}{\bf C}}\end{array}\end{split}\]

为了将这些剪切应变能与纵向流动中的剪切应变能进行比较，考虑一个直径从\(50\,\mathrm{mm}\)减小到 \(5\,\mathrm{mm}\)、长度为\(20\,\mathrm{mm}\) 的模具入口——一个尖锐的锥形，以夸大纵向分量。显然，由于平均剪切速率较低，锥形入口的剪切应变能将小于毛细管。现在

\[\begin{split}{\begin{array}{r l}&{{\mathrm{Volume~of~entrance}}={\frac{\pi}{3}}\times25^{2}\times10^{-6}\times20\times10^{-3}}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=13.09\times10^{-6}\,{\mathrm{m}}^{3}}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=13.09\times10^{-6}\,{\mathrm{m}}^{3}}\\ &{\qquad\qquad\mathrm{Half~angle~of~taper}=\tan^{-1}\left({\frac{50-5}{2\times20}}\right)}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\tan^{-1}1.125}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=48.4^{\circ}}\end{array}}\end{split}\]

根据方程式（3.69），我们得到：

\[\begin{split}\begin{array}{c}{{\mathrm{Elongational~strain}=\log_{\mathrm{e}}\left(\displaystyle{\frac{50}{5}}\right)^{2}}}\\ {{=4.605}}\end{array}\end{split}\]

如前所述，流速为：

\[Q=0.1\times10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}\]

通过锥度的时间为：

\[\frac{{\mathrm{Volume}}}{Q}\,{=}\,\frac{13.09\times10^{-6}}{0.1\times10^{-4}}\]

则平均应变率由下式给出：

\[\begin{split}\begin{array}{l}{\dot{\varepsilon}\equiv\frac{\mathrm{d}\varepsilon}{\mathrm{d}t}}\\ {\quad=\frac{4.605}{1.309}}\\ {\quad=3.518\,\mathrm{s}^{-1}}\end{array}\end{split}\]

假设拉伸粘度为：

\[\begin{split}\begin{array}{l}{\Lambda=3\eta}\\ {\qquad=3\times10^{3}\,{\mathrm{N}}\,{\mathrm{s}}\,{\mathrm{m}}^{-2}}\end{array}\end{split}\]

通过与剪切应变能类比，拉伸应变能由下式给出：

\[\begin{split}\begin{array}{c}{{\Lambda\dot{\varepsilon}^{2}=3\times10^{3}\times3.518^{2}}}\\ {{=37.1\times10^{3}\,\mathbf{W\,m}^{-3}}}\end{array}\end{split}\]

请注意，模具中的剪切应变能约为该拉伸能的\(10^{4}\)倍。存储在锥度中的拉伸能为：

\[37.1\times10^{3}\times13.09\times10^{-6}=0.486\,\mathbf{W}\]

大部分能量以弹性方式储存，并在模具出口处通过弹性恢复释放，从而在长度上产生横向膨胀和收缩。然而，如果这种能量通过平行通道中的内摩擦消散，例如在非常长的模具中，温度上升的速度将为

\[\begin{split}\begin{array}{r}{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\!=\!\frac{37.1\times10^{3}}{750\times2500}}\\ {=\!0.0198^{\circ}\!\mathrm{C}\,\mathrm{s}^{-1}}\end{array}\end{split}\]

与毛细管中的剪切力相比，这可以忽略不计。

在更复杂的情况下，可以推导出应变能和粘性加热，其中剪切速率（或剪切应力）和粘度（在非等温或非牛顿情况下）有分析表达式。第8.4节研究了阻力和压力流的组合。